Was ist der Unterschied zwischen dem Riemann-Integral und dem Riemann-Stieltjes-Integral?


Antwort 1:

Was ist der Unterschied zwischen dem Riemann-Integral und dem Riemann-Stieltjes-Integral?

Das Riemann-Stieltjes-Integral bezieht sich auf eine andere Funktion, also anstelle von

abf(x)dx\int_a^b{f(x)dx}

es ist

abf(x)dG(x)\int_a^b{f(x)dG(x)}

. Wenn

GG

ist mit Derivat differenzierbar

gg

dann wird das Integral

abf(x)g(x)dx\int_a^b{f(x)g(x)dx}

. Bisher hat dies nichts mit Riemanns Definition des Integrals zu tun. Man könnte das Integral mit einem anderen Ansatz definieren (z. B. das Lebesgue-Integral).

Was wäre wenn

GG

ist nicht differenzierbar? Nehmen wir ein Beispiel,

G(x)=xG(x) = x

wenn

x<2x < 2

und

G(x)=x+1G(x) = x+1

wenn

x2x \ge 2

.Ifthedomainoftheintegralincludesthepointx=2,theStieltjesintegralwillbetheordinaryintegralplusacontributionduetothejump.. If the domain of the integral includes the point x = 2, the Stieltjes integral will be the ordinary integral plus a contribution due to the jump.

Das Riemann-Steiljes-Integral wird auf die gleiche Weise ausgeführt. Unterteilen Sie die Domäne in eine endliche Anzahl von Teilen. Bewerten

f(x)f(x)

an einem Punkt in jedem Intervall multipliziert mit der Änderung in

G(x)G(x)

über dieses Intervall und hinzufügen. Nehmen Sie dann die Grenze, da die Länge des längsten Teilintervalls gegen Null geht. Sie werden sehen, dass Sprünge zu einem Beitrag führen, der dem Wert von entspricht

f(x)f(x)

beim Sprung multipliziert mit der Größe des Einsprungs

G(x)G(x)

. Wenn

f(x)f(x)

isnotcontinuousorthediscontinuityinGisnotsimplyajumpthesituationisslightlymorecomplicated.UsethedefinitionbasedonDarbouxsumsinstead,oruseaLebesgueStieltjesintegral(whichisaLebesgueintegralwithrespecttoadifferentmeasure). is not continuous or the discontinuity in G is not simply a jump the situation is slightly more complicated. Use the definition based on Darboux sums instead, or use a Lebesgue Stieltjes integral (which is a Lebesgue integral with respect to a different measure).