Wie schreibt man 85 als Differenz zwischen zwei Quadraten?


Antwort 1:

Ich werde diese Art von Wissenschaftsstil lösen, nicht Mathe-Stil.

Der vielleicht einfachste Weg, eine schnelle, billige Antwort zu finden, besteht darin, ein Muster in aufeinanderfolgenden Quadraten zu bemerken:

2212=41=32^2 - 1^2 = 4–1 = 3

3222=94=53^2 - 2^2 = 9–4 = 5

4232=169=74^2 - 3^2 = 16–9 = 7

Das ist interessant. Unterscheiden sich aufeinanderfolgende Quadrate durch aufeinanderfolgende ungerade Zahlen? Versuchen wir ein Modell zu erstellen:

Warum sind die Unterschiede zwischen aufeinanderfolgenden Quadraten gleich der Folge von ungeraden Zahlen? Bei Math Stack Exchange.

Ok, ich schaue auf die orangefarbenen "L" -Formen. Dies könnte ein gutes Modell sein. Es lohnt sich, etwas Algebra zu mahlen, um dies herauszufinden. Mal sehen, ob wir eine Formel für die Differenz aufeinanderfolgender Quadrate finden können:

n2(n1)2=n2n2+2n1=2n1n^2 - (n-1)^2 = n^2 -n^2 +2n-1 = 2n-1

Ja. Wir können also nur aus der Mathematik zeigen, dass sich aufeinanderfolgende Quadrate durch aufeinanderfolgende ungerade Zahlen unterscheiden. Wir brauchten keine Daten und kein Modell. Huh.

Wie auch immer, jetzt müssen wir nur noch lösen

2n1=85.2n-1 = 85.

n=43.n = 43.

So

432422=85. 43^2 - 42^2 = 85.

Äh ... lass mich einen Taschenrechner öffnen.

Puh, ja, das stimmt. (Ich habe beim ersten Mal n = 42 bekommen, aber der Taschenrechner hat mich gerettet und ich habe meine Antwort bearbeitet.)

Ich wette, das ist nicht die einzige Antwort. Es ist nur eine einfache Möglichkeit, eine Antwort zu finden.


Antwort 2:

Angenommen, Sie haben positive ganze Zahlen A, B, so dass

A2B2=85A^2 - B^2 = 85

.

Berücksichtigung der Differenz der Quadrate:

A2B2=(A+B)(AB)=85A^2-B^2 = (A+B)(A-B)=85

Wir haben das

A>BA>B

und das haben wir

A+B=MA+B = M

AB=NA-B = N

wo

MN=85MN = 85

und

M>NM>N

. 85 kann nur als 85 * 1 und 17 * 5 berücksichtigt werden.

2A=M+N2A = M+N

und

2B=MN2B = M-N

, so

M+NM+N

und

MNM-N

müssen gerade sein, was nur auftritt, wenn M und N beide gerade oder beide ungerade sind.

Verallgemeinern: Wenn "85" eine andere Zahl wäre, müsste "85" ungerade sein (damit M und N beide ungerade sind), damit die Gleichung ganzzahlige Lösungen hat, oder "85" müsste durch teilbar sein 4 (so dass M und N so gewählt werden können, dass beide gerade sind). Wenn "85" durch 4 teilbar wäre, müssten M und N beide gerade Faktoren von "85" sein.


Antwort 3:

Es gibt wahrscheinlich einige Möglichkeiten, um diese Art von Problemen zu lösen, aber ich denke, das Folgende ist am einfachsten.

Wir gehen davon aus, dass es eine Ganzzahllösung gibt, und sehen, wohin uns das führt.

Nehmen wir an, die beiden Quadrate sind a und b. Dann können wir schreiben: (in den folgenden 2 bedeutet Quadrat)

a2 - b2 = 85

Wir können die linke Seite als (ab) (a + b) faktorisieren, so dass

(ab) (a + b) = 85

Jetzt suchen wir nach Faktoren von 85. Da die Zahl mit 5 endet, ist sie durch 5 teilbar. Dies ergibt 5 * 17. Dies sind beide Primzahlen, daher gibt es keine anderen Faktoren. Mit Ausnahme von (1 * 85).

Also: (ab) (a + b) = 5 * 17

Wir können also annehmen: (ab) = 5 (a + b) = 17

Addiert man diese, um b zu eliminieren, ergibt sich: 2a = 22, was a = 11 ergibt

11-b = 5 ergibt also b = 6

Also a = 11 und b = 6

Zum Testen: 11 Quadrat = 121, 6 Quadrat = 36,121 - 36 = 85

Versuchen wir die zweite Möglichkeit (1 * 85) :( ab) (a + b) = 1 * 85. (ab) = 1, (a + b) = 85 Dies ergibt 2a = 86, so dass a = 43 und b = 42

Es gibt also genau zwei Lösungen: (1) a = 11 und b = 6 (2) a = 43 und b = 42